Danskeren besejrede i ottendedelsfinalerne amerikaneren Taylor Fritz med cifrene 2-6, 7-6, 6-3.
Rune skal i kvartfinalerne op mod russiske Daniil Medvedev, der gik videre efter en sejr over bulgarske Grigor Dimitrov.
Nattens opgør startede tæt, men Rune havde til tider i første sæt svært ved at følge med den velspillende amerikaner.
Danskeren var lige ved at blive brudt for første gang i fjerde parti, men han afværgede en breakbold og udlignede i stedet til 2-2.
Fritz viste dog efterfølgende stærkt spil og leverede ved sin næste mulighed opgørets første brud til 4-2.
Han leverede derefter et rent serverparti til stillingen 5-2 og tog sættet, da han efterfølgende brød Rune for anden gang.
Danskeren kom bedre efter det i andet sæt, hvor spillerne skiftedes til at holde serv hele vejen igennem.
Men da Rune afværgede en matchbold og udlignede til 5-5 i andet sæt, fik han skabt et vist momentum.
Sættet skulle til sidst afgøres ved en tiebreak, hvilket endte i total dansk dominans. Rune kom hurtigt foran 4-0 og endte med at vinde 7-2 til en sætsejr på 7-6.
I tredje sæt viste Rune nogle af sine klassiske stopbolde frem, og det gjorde han med stor succes.
Det resulterede i danskerens første brud til stillingen 3-1.
Efterhånden blev det tydeligt, at amerikaneren var under pres, i særdeleshed fordi Rune havde held med at holde sig tæt på nettet.
Danskeren kunne efter sit brud blot serve sejren hjem. Det gjorde han med stil i form af blandt andet to rene servepartier - det sidste til 6-3.