Jacob Murphy fik en gave efter dårlig kommunikation mellem Bobby De Cordova-Reid og Antonee Robinson blot fem minutter efter sin første optræden siden begyndelsen af november, men den rust, han havde opbygget i den periode, blev udstillet, da han skød lige på Marek Rodak.
Den slovakiske målmand Martin Dubravka blev tvunget til en langt sværere redning i den anden ende, da han fik fingerspidserne på et Rodrigo Muniz-forsøg, der så ud til at skulle snige sig ind i det nederste hjørne.
Fulham fik overtaget, som første halvleg skred frem, Harry Wilson fandt lovende huller i kæderne og spillede nogle fine afleveringer, men det blev ikke omsat til muligheder for at teste Dúbravka yderligere, og Muniz' forsøg blev afvist af Sven Botman.
Fulham led derefter to tilbageslag før pausen, da et hårdt spark fra Sean Longstaff efterlod Rodak nogen uden chance.
Det blev efterfulgt af, at Wilson blev tvunget til at gå ud efter at have forsøgt at spille sig igennem en skulderskade.
Værternes problemer med at finde en vej ind i kampen fortsatte, på trods af at de var bedst frem af banen mod et usammenhængende Newcastle-hold.
Og deres håb blev uigenkaldeligt ødelagt efter en time, da Burn reagerede hurtigst efter Botmans hovedstød blev reddet og smadrede bolden i mål på riposten.
Marco Silvas mandskab ledte efter en vej tilbage i kampen, og Raul Jimenez steg flot til vejrs på Kenny Tetesindlæg, men kunne ikke holde sit hovedstød nede, og Antonee Robinson sendte følgeligt sit skud i sidenettet.
Deres anstrengelser var forgæves, for Newcastle vandt uden yderligere problemer og gik videre fra FA Cup'ens fjerde runde for blot anden gang i 18 sæsoner, hvilket fastholder The Magpies' håb om at vinde sølvtøj i denne sæson.
Fulham vil til gengæld være ærgerlige over at være blevet slået ud af to turneringer på under en uge, og holdet fra Themsen har nu kun klaret denne runde af FA Cuppen én gang i de sidste syv sæsoner.