Felix Auger-Aliassime og Ben Shelton tilføjede en double-sejr til Team World, som fører 10-2 på sidstedagen.
Da hver sejr er tre point værd på søndag, skal Team World kun bruge én sejr for at løfte trofæet for anden gang - efter at Europa vandt de første fire udgaver af turneringen, der begyndte i 2017.
"Vi bliver bare ved med at gøre det, vi gør," sagde Team Worlds kaptajn John McEnroe. "Felix sagde, at jobbet ikke er gjort - men vi er ret tæt på."
Tiafoe havde tabt sine sidste tre kampe mod polske Hurkacz, men den 11. rangerede amerikaner vendte bøtten med en sejr på 7-5, 6-3, som forpurrede Team Europes håb om at opbygge momentum i kølvandet på Casper Ruuds sejr på 7-6(6), 6-2 over Tommy Paul.
Ruuds sejr gav Europa deres første point i turneringen, efter at Team World vandt fredagens fire kampe, og Fritz åbnede dag to med en sejr på 6-2, 7-6(3 ) over Europas højest rangerede spiller, verdens nummer seks, Andrey Rublev.
Norske Ruud, der ligger nummer ni i verden, indrømmede, at han følte sig presset, da han gik på banen med sit hold bagud 6-0 - og han erkendte, at han slap af sted med "lidt af et tyveri" i første sæts tiebreak, da han reddede en sætbold ved 6-5, før han tog sættet i lommen.
Han var dog dominerende i andet sæt, hvor han brød Paul for at åbne sættet og brød amerikaneren igen med en forrygende serv til en 5-2 føring.
Ruud servede sættet hjem, men hans håb om, at det ville være "et momentumskift", blev knust, da Tiafoe åbnede aftenens session i Rogers Arena med en publikumsvenlig sejr over Hurkacz.
Hurkacz, verdens nummer 16, kom stærkt fra start og havde en sætbold mod Tiafoes serv ved stillingen 5-4 i første sæt.
Tiafoe arbejdede sig ud af kniben og tog kampens første break i det næste parti, før han afgjorde sættet.
Efter at have brudt Hurkacz i åbningen på andet sæt, var Tiafoe flyvende og fik virkelig publikum med sig i det næstsidste parti med et skud bagom ryggen for at holde liv i en slagudveksling, som han vandt med en baghåndsvolley.
"Vi er alle heldige en gang imellem," sagde Tiafoe, som sikrede sejren med et rent parti, da Hurkacz lavede sin eneste dobbeltfejl i kampen på matchbolden.
Bliver ved med det
Hurkacz var efter nederlaget hurtigt tilbage på banen, da han spillede sammen med franske Gael Monfils i den afsluttende double, som Auger-Aliassime og Shelton vandt 7-5, 6-4.
Amerikaneren Fritz, der er nummer otte på verdensranglisten, åbnede dagen med at slå Rublev efter at han ellers havde været nede med et break i andet sæt.
Fritz havde åbnet kampen med et servegennembrud og cruisede gennem første sæt. Han sagde, at Rublevs tidlige break på vej til en 3-0 føring i andet sæt ikke gjorde noget for at ryste hans selvtillid.
"Han spillede bare en rigtig god kamp," sagde Fritz. "Jeg sagde bare til mig selv, at hvis jeg blev ved med det, så kunne jeg finde en chance for at få breaket tilbage."
Efter at der blev givet et point for hver sejr på førstedagen, var hver sejr lørdag to point værd, og det bliver tre søndag, når dagen åbner med en doublekamp efterfulgt af tre singlekampe.