Girona lagde forrygende ud hjemme i Catalonien, og den tidligere FCM'er Artem Dovbyk var uhyggeligt tæt på at bringe dem foran allerede i det første minut, men han skød langt over mål fra tæt hold efter Savinhos forrygende indlæg fra højre side.
Værterne skulle dog kun vente et minut mere på at åbne scoringen, da Pablo Torre fandt Valery Fernandez, som skar ind fra venstre og med en smuk afslutning passerede en ubevægelig Jan Oblak.
Et rystet Atleti-hold søgte efter et hurtigt svar, og Morata leverede netop det, da han på glimrende vis modtog Antoine Griezmanns stikning og sendte et klinisk skud forbi Paulo Gazzaniga.
Men Michel Sanchez' mandskab vendte kampen til deres fordel med et mål, som hverken Griezmann eller Koke ønsker at se igen.
Martin afdriblede Atleti-kaptajnen efter Griezmanns sløje aflevering blev opsnappet, og hans efterfølgende skud blev skubbet væk af Oblak, men lige ud til Savinho, som nemt sparkede den løse bold i mål.
Det skulle blive endnu bedre for værterne, da Daley Blind reagerede lynhurtigt ved bagerste stolpe og sendte Dovbyks indlæg ind efter et glimrende, indøvet hjørnespark.
Gæsterne fik dog det sidste ord inden pausen, da Morata viste sublimt fodarbejde og sendte bolden i mål for anden gang.
Sekunder senere troede spanieren, at han havde fuldendt sit hattrick allerede i første halvleg, men han blev afvist af linjevogterens flag for offside i en utrolig afslutning på de første 45 minutter.
Diego Simeones mandskab bed tænderne sammen efter pausen og lagde pres på værterne i et forsøg på at bringe balance i regnskabet. Gazzaniga leverede en række tidlige redninger på Morata, Griezmann og Marcos Llorente, men den uundgåelige udligning kom i det 54. minut.
Efter at have brændt en langt lettere chance kort forinden, blev den tidligere Chelsea-angriber spillet fri af Rodrigo De Paul, og han sendte en flot afslutning over Gazzaniga.
Værterne havde knap nok en chance efter pausen, før Oblak måtte i aktion med en flot enhåndsredning for at holde Dovbyks flade forsøg ude.
Men netop som gæsterne troede, at de havde sikret sig et enkelt point, sikrede Martíns fantastiske solotur i overtiden den store sejr.
Med dette resultat er Girona nu ubesejret i ligaen i 11 kampe, og catalanerne holder dermed trit med Real Madrid på førstepladsen efter deres 1-0-sejr over Real Mallorca.
I mellemtiden har Atletico masser af arbejde at gøre selv i titelræset og ligger nummer tre - 10 point efter Los Blancos efter at have lidt et fjerde liganederlag i træk på udebane for første gang i Simeones embedsperiode.
