United smed en 3-0-føring væk på Wembley i søndags og blev kun reddet fra et ydmygende exit i den forlængede spilletid af en VAR-dom, som annullerede Coventrys fjerde mål for offside i kampens døende sekunder.
Til sidst klarede United sig igennem mod Championship-holdet på straffespark, og dermed er der lagt op til en gentagelse af sidste års finale mod Manchester City.
Ten Hag indrømmede efter kampen, at hans hold var "sluppet af sted med det", men nedtonede enhver tanke om forlegenhed.
Men han er blevet kritiseret meget, og det har sat gang i spekulationerne om, at han lever på lånt tid på Old Trafford.
Den tidligere Premier League-angriber Chris Sutton sagde, at præstationen ville "cementere hans fyring".
Men Ten Hag var i et trodsigt humør forud for Uniteds Premier League-kamp mod bundholdet Sheffield United på onsdag.
"Du stillede spørgsmålet: "Er det pinligt?". Nej, reaktionen fra jer var pinlig," sagde han til journalister tirsdag.
"Det er kommentarerne. Topfodbold handler om resultater. Vi kom i en finale, og vi fortjente det ikke kun i denne kamp, men også i de andre kampe.
"Vi mistede kontrollen i 20 minutter, vi var også uheldige, 3-2, 3-3. Vi var meget heldige til sidst, det er klart. Straffesparkene var meget gode, og vi kom i finalen, det er en kæmpe præstation. To gange på to år er storslået. For mig som manager er det fire pokalfinaler på fire år.
"Kommentarerne er en skændsel."
United, som ikke har vundet i deres seneste fire Premier League-kampe, er i fare for at gå glip af en europæisk plads i næste sæson efter en dårlig sæson.
De er allerede realistisk set ude af kapløbet om at kvalificere sig til den lukrative Champions League, men har stadig Europa League og Europa Conference League at sigte efter.
"Vi er nødt til at vinde hver kamp, det ved vi," siger Ten Hag. "Det er det, United står for, og det er vores tilgang, at gå fra kamp til kamp, men vi er nødt til at kvalificere os til Europa, og vi har nu to muligheder - i ligaen og FA Cup-finalen."
Ten Hag sagde, at han ville arbejde tæt sammen med den nyudnævnte tekniske direktør Jason Wilcox om at skitsere klubbens fremtidige retning.
Wilcox, 53, har forladt Southampton i den næstbedste række for at tage jobbet på Old Trafford med øjeblikkelig virkning.
"Vi er nødt til at danne et partnerskab, hvilket er meget vigtigt," siger Ten Hag. "Vi er en lille smule bagud i processen, så vi er nødt til at indhente det forsømte, og vi vil fremskynde processen."