Det skete efter en kamp, hvor hovedstadsklubben ellers langt fra imponerede.
Med sejren er Real Madrid nyt tophold i den spanske La Liga, men Girona har mandag mulighed for at tage førstepladsen tilbage, når holdet hjemme møder Athletic Bilbao.
Det var et skadesplaget Real Madrid-hold, som træner Carlo Ancelotti rådede over mod Cadiz.
I landskampspausen blev Vinicius Junior og Eduardo Camavinga tilføjet den længere liste af skadede spillere, der blandt andre også tæller Aurelien Tchouameni, Eder Militao og Thibaut Courtois.
Ancelotti kunne dog glæde sig over, at Jude Bellingham var tilbage efter en skulderskade.
Real Madrid fik overraskende meget plads på Cadiz' banehalvdel i kampens indledning og efter mindre end et kvarters spil udnyttede hovedstadsklubben det.
Rodrygo modtog en aflevering i venstresiden fra tilbagevendte Bellingham, hvorefter brasilianeren drev bolden gennem feltet, inden han sparkede den flot op i det fjerneste hjørne.
Derfra var Cadiz godt med i den resterende del af første halvleg. Det skyldtes særligt, at Real Madrid ikke for alvor var oppe i gear tempomæssigt.
Real Madrid fortsatte under vanligt niveau i anden halvleg, hvor holdet noget uvant lavede en hel del tekniske fejl med bolden.
Med en halv time tilbage viste Rodrygo dog endnu en gang klassen, da den brasilianske offensivspiller fangede Cadiz højt på banen.
Ligesom ved det første mål drev Rodrygo bolden ind fra venstre, inden han sparkede den ind bag Jeremias Ledesma i Cadiz-buret.
Med 20 minutter tilbage cementerede Jude Bellingham sejren, da han fra en spids vinkel sparkede bolden i kassen til 3-0.
