Postecoglous mandskab rejste sig efter midtugens skuffende exit i Liga Cuppen mod Fulham og vandt den tredje sejr i træk i Premier League.
Lyle Fosters åbningsmål for Burnley i det fjerde minut kunne have udløst endnu et Tottenham-flop, men nordlondonerne slog tilbage med stil takket være Sons dødbringende afslutninger.
Den sydkoreanske angriber udlignede i det 16. minut, inden Cristian Romero og James Maddison scorede og bragte Tottenham i front.
Son scorede to gange på fire minutter lige efter en time var spillet, og det var hans første hattrick siden 17. september sidste år.
Josh Brownhills sene mål var ikke megen hjælpfor Burnley, der var overmatchet, og Tottenham forlængede deres ubesejrede start på ligasæsonen til fire kampe.
Adspurgt om Sons præstation viste, hvordan Spurs kan klare sig uden Harry Kane efter den engelske anførers skifte til Bayern München, sagde Postecoglou:
"Jeg har et billede i hovedet af, hvordan jeg vil have holdet til at se ud, og jeg bliver ved med at sige, at vi stadig er i begyndelsen af det.Vi er stadig ved at bygge op, og der er meget, der skal gøres. Det handler om at sætte alle brikkerne sammen."
At miste Kane var et stort slag for Tottenham forud for den nye sæson, men Postecoglou sagde, at deres topscorers afgang kunne give andre mulighed for at træde i karakter.
Son og Maddison bliver nøglen til Postecoglous genoprejsnngs, når den tidligere Celtic-træner forsøger at bringe underholdende fodbold til en fanskare, der har været forvænt med iøjnefaldende præstationer under Jose Mourinho, Nuno Espirito Santo og Antonio Conte.
"Der er nogle virkelig gode fodboldspillere i denne klub, og de har evnen til at spille på den måde, som dette hold har brug for," sagde Postecoglou.
"Sonny, uanset om han spiller centralt eller til højre, har alle de egenskaber, der skal til for at spille på den måde, vi ønsker at spille. Jeg synes, at dagen i dag var et godt bevis på, at Sonny, Madders og Romero tog det ansvar på sig, ikke kun med ord, men også med handling, og ikke kun på kampdagen, men på daglig basis. Det er meget opmuntrende for mig, for selvom de er gode hver for sig, har de holdånden, og det er vigtigt for mig."