Fire Celtics-spillere scorede tocifrede antal point og satte dermed fut i serien, hvor de på forhånd var favoritter.
Med sejren undgik Celtics eliminering for anden kamp i træk, og nu vender bedst-af-syv-serien tilbage til Miami med en fordel for Heat (3-2), som kan afgøre serien med en sejr i lørdagens næste kamp.
De andenseedede Celtics undgik et sweep fra den foregående kamp. Heat gik ind i slutspillet som ottendeseedet.
Celtics kommer samtidig tættere på en historisk bedrift, da de kom bagud 3-0, en stilling, som intet hold nogensinde er kommet tilbage fra i slutspillet.
TD Garden havde ikke været venlig mod hjemmeholdet i slutspillet, hvor de havde tabt fem af deres seneste otte kampe i Boston, mens Heat havde vundet alle deres seks hjemmekampe i playoffs før sidste tirsdags første nederlag i Miami.
Miami er nu blevet nægtet deres første chance for at indløse billet til NBA-finalen i fire sæsoner i den anden kamp.
Men de har stadig chancen for at slutte sig til New York Knicks fra 1998-99 som de eneste ottendeseedede hold i ligaen, der er gået videre til NBA-finalen.
Miami er stadig en sejr fra at vinde den fjerde finalering i historien efter 2006, 2012 og 2013 i en syvende finale.
Den sidste af disse finaler endte med et nederlag til Los Angeles Lakers i slutspillet i 2020, som blev spillet bag lukkede døre i Disney World (Florida) på grund af pandemien.
Celtics førte med hele 61-44 ved pausen takket være en 15-points indsats fra forward Jaylen Brown.
"Det eneste, der kan stoppe os, er os selv," fortæller Brown efter sejren. "I aften var vi det hårdest spillende hold. Vi satte tonen fra start til slut."
Godt tilbagespring for Celtics
Celtics holdt dampen oppe og byggede videre på succesen fra første periode, hvor de førte 35-20 med et hav af trepointsscoringer, og de slap ikke taget før til sidst.
Alle startere undtagen dominikaneren Al Horford scorede 21 point eller mere, og Derrick White var den mest fremtrædende af dem med 24 point.
Celtics' offensive leder Jayson Tatum (11 assists, 8 rebounds) bidrog med 21, Brown med det samme og Marcus Smart med 23.
Celtics har stadig ryggen mod muren, da et nederlag vil betyde eliminering på lørdag i kamp 6 mod Heat, men de er halvvejs i deres søgen efter en historisk bedrift.
Faktisk har et 3-0-hold ved 150 lejligheder aldrig vundet en serie i syv kampe.
For Miami, som måtte undvære Gabe Vincent (forstuvet ankel), blev all-star Jimmy Butler begrænset til 14 point og center Bam Adebayo til 16.