Det blev dog en sen og sløj omgang for Rune, der tabte i tre sæt med cifrene 6-2, 2-6, 3-6.
Båret frem af en solid serv og et øget fokus på at løse situationerne på enkel vis, vandt danskeren første sæt med 6-2 på blot en halv time.
Som så ofte set før med Rune, så mistede han dog koncentrationen i andet sæt, som 23-årige Baez vandt med samme cifre mod en åbenlyst frustreret dansker, der senest havde slået sin modstander i Basel i efteråret.
Rune begik spandevis af fejl og tabte 15 partier undervejs i sættet.
Tredje sæt blev endnu en sørgemarch for danskeren, der blev ved med at søge vinderslagene, men konstant overplacerede dem.
Det udnyttede Baez kynisk til at spadsere sejren hjem med 6-3 i sættet, og Rune er dermed tidligt ude i Rom.
I løbet af kampen så man to udgaver af Rune, der sluttede kampen af i en dårlig version af sig selv uden skarphed og kvalitet i slagene.
Rune, der er nummer 12 i verden, var ellers stærkt spillende fra kampens start og bragte sig foran med hele 4-0 efter to servegennembrud.
Baez, der er nummer 19 verden, havde svært ved at hamle op med Runes storspil, men det lykkedes for argentineren bryde tilbage en enkelt gang.
Derefter vandt Baez også sit første serveparti i kampen og reducerede dermed til 2-4.
Rune hankede op i sig selv efter det kortvarige udfald og leverede flere fine vinderslag på vejen mod et suverænt første sæt.
En argentinsk dobbeltfejl gav Rune det tredje servegennembrud samt sættet efter blot en halv times spil.
Baez har på det seneste imponeret på grus med to turneringssejre i Sydamerika, og det viste argentineren i anden halvdel af kampen.
Rune havde en breakbold for at komme foran 2-0 i andet sæt, men i stedet udlignede Baez til 1-1. Det skulle vise sig at blive lidt af et vendepunkt i kampen.
Godt nok vandt Rune endnu et parti i andet sæt, men spillemæssigt skiftede momentum.
Argentineren vandt tre partier i træk rent, og det endte faktisk med fem vundne partier i træk. Og så stod det pludselig 1-1 i sæt.
I tredje sæt gentog billedet fra andet sæt sig.
Rune var godt med i starten af sættet, og duellanterne fulgtes ad frem til 2-2.
Men Baez brød til 3-2-føring og viste sig mere holdbar over tre sæt, mens Rune virkede træt og modløs.
Rune formåede at vinde et parti mere og reducere til 3-4, men derfra vandt danskeren ikke flere point i kampen.
I fjerde runde, som svarer til turneringens ottendedelsfinaler, skal Baez nu møde polakken Hubert Hurkacz, der er nummer ni i verden.